Question

Fie A=n la puterea a 3- a + 3n la a doua - n -3
Aratati ca A este divizibil cu 48 oricare ar fi n numar natural impar.

Answer 1

n³+3n²-n-3 se descompune in factori primi 
n³-n+3n²-3=n(n-1)(n+1)+3(n-1)(n+1)=(n-1)(n+1)(n+3)
unde n este de forma 2k+1 (forma generala a unui numar impar)
inlocuind avem (2k+1-1)(2k+1+1)(2k+1+3)=2k*2(k+1)*2(k+2) = 8k(k+1)(k+2)
 8k(k+1)(k+2)  se observa ca avem 3 numere consecutive ⇒ unul este multiplu de 3 si unul este multiplu de 2 ⇒ avem un multiplu de 48 qed