Question

Fie A(n) = n^4 + 2n^3 - n^2 -2^n , n apartine la N*. Demonstrati ca A(n) se divide cu 8, oricare ar fi n care apartine la N*.

Answer 1

A(n) = n^4 + 2n^3 - n^2 -2n =
=n^3(n+2)-n(n+2)=(n+2)(n^3-n)=n(n+2)(n^2-1)=n(n+2)(n+1)(n-1)
avem un produs de 4 nr consecutive
n-1
n
n+1
n+2

Dintre patru numere consecutive, doua sunt pare si unul dintre cele doua pare este divizibil cu 4 deci produsul este divizibil cu 8