Question

Fie A(n)=n la 4+2n la 3-n la 2-2n,unde n apartine lui N*.Demonstrati ca A(n) se divie cu 8 oricare ar fi N*

Answer 1

A(n) = n^4 + 2n³ - n² -2n = n³ (n+2) - n(n+2) = n(n+2)(n² - 1) = (n-1)·n·(n+1)(n+2)
(n-1), n, (n+1), (n+2) sunt numere consecutive; aceste numere pot avea forma :
 4k, (4k+1), (4k +2), (4k+3)
n- 1 = 4k  n = 4k +1
A(n) = 4k(4k+1)·2(2k+1)(4k+3)= 8k(4k+1)(2k+1)(4k+3) = divizibil cu 8