Question

Fie A o multime cu 2^2017 + 1 elemente.Stiind ca toate elementele multimii sunt numere prime mai mari decat 2017,aratati ca A contine cel putin doua elemente a caror diferenta este multiplu de 2^2018.

Answer 1

$\displaystyle Numerele~date,~fiind~prime~si~mai~mari~decat~2017,~va~rezulta \\ \\ ca~sunt~toate~impare. \\ \\ Restul~impartirii~unui~astfel~de~numar~la~2^{2018}~este~deci~impar, \\ \\ si,~deci,~poate~fi~1,3,5,...,2^{2018}-1. \\ \\ Sunt~in~total~2^{2017}~resturi~posibile.~(acest~lucru~se~observa~daca \\ \\ scriem~numerele~ca~2 \cdot 1-1,~ 2 \cdot 2 -1,~2 \cdot 3-1,...,~2 \cdot 2^{2017}-1.)$

$\displaystyle In~fine,~sunt~2^{2017}~resturi~posibile,~iar~noi~dispunem~de~2^{2017}+1 \\ \\ numere,~deci~conform~principiului~lui~Dirichlet~cel~putin~doua \\ \\ numere~dau~acelasi~rest~la~impartirea~cu~2^{2018},~si~deci~diferenta \\ \\ lor~este~divizibila~cu~2^{2018}.~\blacksquare$