Question

Fie a și b doi vectori , să se afle dacă aceștia sunt coliniari în cazurile:
a). | a vector + b vector | = | A vector - b vector |.
b). | a vector + b vector | = | A vector | + | b vector |.

Answer 1

a) Presupunem ca $\vec{a}$ si $\vec{b}$ sunt coliniari, atunci exista $k \epsilon \mathbb{R}$ astfel incat $\vec{b} = k\vec{a}$. Inlocuind in relatia data, obtinem:
$\mid \vec{a} + k\vec{a} \mid = \mid \vec{a} - k\vec{a}\mid$
$\mid 1+k \mid \mid \vec{a} \mid = \mid 1-k \mid \mid \vec{a}\mid$
Daca $\vec{a}$ este vectorul nenul, obtinem cazul trivial in care ambii vectori sunt nuli. Altfel, putem imparti prin $\mid \vec{a} \mid$ si obtinem:
$\mid 1+k \mid = \mid 1-k \mid$
Observam imediat ca nu putem avea $k=1$, deci $1-k$ este nenul si putem aduce la forma:  
$\mid \frac{1+k}{1-k} \mid = 1$
Cazul 1: 
$\frac{1+k}{1-k}= 1$
 Solutia este $k=0$, deci obtinem un alt caz trivial.
Cazul 2:
$\frac{1+k}{1-k}= -1$
Deci $1+k = k -1$, care nu are solutie.
Asadar, cei doi vectori nu sunt necoliniari daca sunt amandoi nenuli.
b) Presupunem ca vectorii sunt necoliniari. Deci, ei pot forma laturile unui triunghi, una de lungime $\mid\vec{a}\mid$, una de lungime $\mid\vec{b}\mid$, si cea de-a treia de lungime 
$\mid\vec{a}+\vec{b}\mid$. Din inegalitatea triunghiului, vom obtine ca:
$\mid \vec{a} \mid + \mid \vec{b} \mid \ \textgreater \ \mid \vec{a} + \vec{b} \mid$
ceea ce contrazice relatia data. Ramane, deci, ca cei doi vectori sunt coliniari.