Question

Fie a și b doua din cele patru rădăcini ale polinomului

P= X^4+αX^3-β, unde α aparține R, β aparține R*.

Arătați ca a*b este rădăcina a polinomului

Q=X^6+βX^4+α^2βX^3-β^2X^2-β^3.


E din gazeta matematica!!!

Answer 1

Fie a, b, c, d radacinile polinomului, deci avem:
$P(X) =X^4+\alpha X^3- \beta=(X-a) ~(X-b) ~(X-c) ~(X-d), ~(*).$
Din (*) rezulta ca:

$a+b+c+d=-\alpha, ~(**) ~si~abcd=-\beta.$
$Pentru~a~arata~ca~a \cdot b~este~radacina~a~polinomului~Q~trebuie~aratat~ca~Q(a \cdot b) =0~adica$
$\it (ab) ^6+ \beta(ab) ^4+\alpha^2\beta(ab)^3-\beta^2(ab)^2-\beta^3=0$
care se mai scrie succesiv:

$\it (ab)^3[(ab)^3+\beta(ab)+\alpha^2\beta-\beta^2 \cdot \frac{1}{ab}-\beta^3 \cdot \frac{1}{(ab)^3}]=0,~sau$
$(ab) ^3[(ab)^3+\beta(ab)+\alpha^2\beta+\beta(cd)+(cd)^3]=0$
si deoarece (ab) ³ ≠ 0 trebuie sa demonstram ca:

$(ab) ^3+(cd)^3+\beta(ab+cd)+\alpha^2\beta=0,~~(1).$
$Pe~de~alta~parte, ~deoarece~a~si~b~sunt~radacinile~polinomului~X^4+\alpha X^3-\beta,~avem~ca~a^3=\frac{\beta}{a+\alpha},~~b^3=\frac{\beta}{b+\alpha} ~si~deci$

$(ab) ^3=\frac{\beta^2}{(a+\alpha)~{(b+\alpha)}},~~(2).$

$Insa:~-\beta=P(-\alpha) =(a+\alpha) ~(b+\alpha) ~(c+\alpha) ~(d+\alpha), ~~de~unde~rezulta~ca:$

$\it \frac{\beta^2}{(a+\alpha)~(b+\alpha)}=-\beta(c+\alpha)~(d+\alpha), ~~(3).$
Din (2) si (3) avem ca

$(ab) ^3=-\beta(c+\alpha)~(d+\alpha),~~(4).$
In mod analog rezulta ca
$(cd) ^3=-\beta(a+\alpha)~(b+\alpha),~~(5).$
Tinand cont de (4) si (5) relatia (1), de demonstrat, devine:
$- \beta(c+\alpha) ~(d+\alpha) - \beta(a+\alpha) ~(b+\alpha) +\beta(ab+cd) +\alpha^2\beta=0~~sau$
$- \beta~[cd+(a+b+c+d) ~\alpha+2\alpha^2+ab-ab-cd]+\alpha^2\beta=0$
$sau~tinand~cont~de~(**)~avem~-\beta\alpha^2+\alpha^2\beta=0,~~egalitate~evidenta.$