Question

Fie a si b doua numere naturale, astfel incat a>1 sau b>1 . Aratati ca numarul x = a⁴+4b⁴ nu este numar prim

Answer 1

x=a⁴+4b⁴
x=a⁴+4b⁴+4a²b²-4a²b² 
x=(a²+2b²)²-(2ab)²
x=(a²+2b²-2ab)(a²+2b²+2ab)
Evident ca : a²+2b²+2ab>a²+2b²-2ab
Pentru  a demonstra ca x nu este numar prim este suficient sa aratam ca :
a²+2b²-2ab>1
a²+2b²-2ab=a²-2ab+b²+b²
a²+2b²-2ab=(a+b)²+b²>0
Daca (a-b)²+b²=1 atunci a-b=0 si b=1 , imposibil sau (a-b)²=1 si b=0⇒a=1 si b=0, imposibil 
Deci a²+2b²-ab>1 => x nu e numar prim