Question

Fie a și b doua numere reale pozitive ,a < ,aratati ca
a la a doua < ab < b la a doua

Answer 1

$\it a, \ b\in\mathbb{R}_{+}\\ \\a<b|_{\cdot a} \Rightarrow a^2<ab\ \ \ \ \ (1)\\ \\ a<b|_{\cdot b} \Rightarrow ab < b^2\ \ \ \ \ (2)\\ \\ \\ (1), (2) \Rightarrow a^2<ab<b^2$

Answer 2

$a<b,\:(a,b)\in\Bbb{R}^+\times\Bbb{R}^+$

Cum $a^2 = a\cdot a$, putem afirma ca $a^2<ab$ daca si numai daca $ab-a^2=ab-a\cdot a$ este mai mare decat $0$. $ab-a\cdot a=a\cdot(b-a)$, iar $a>0, b>a\implies b-a>0\implies ab-a^2>0\implies a^2<ab$.

Cum $b^2=b\cdot b$, putem afirma ca $ab<b^2$ daca si numai daca $b^2-ab=b\cdot b-ab$ este mai mare decat $0$. $b^2-ab=b\cdot (b-a)$, iar $b>0, b>a\implies b-a>0\implies b^2-ab>0\implies ab<b^2$.

In concluzie, $a^2<ab<b^2$.