Question

Fie a si b numere reale pozitive, sa se arate ca:

$\frac{a+b}{2} \leq \sqrt{ \frac{ a^{2}+ b^{2}}{2} }$

Answer 1

( a +b) ² / 4  ≤ (a² + b² )  / 2 
( a +b) ² / 2  ≤ a² + b² 
a² + 2ab + b²  ≤ 2 · (a² + b² ) 
a² + 2ab + b² ≤ 2a² + 2b² 
0 ≤ 2a² + 2b² - a² - 2ab - b² 
0 ≤ a² - 2ab  + b² 
0 ≤ ( a -b) ²  adevarat  daca  a,b ∈R ₊