Question

Fie A un punct fix in exteriorul cercului C (O, r), M un punct variabil pe C (O, r), N si O' respectiv mijloacele segmentelor [Am] si [AO]. 1) Aratati ca: a) N apartine C (O', r/2); b) daca N' apartine C (O', r/2), atunci exista M' apartine C (O, r) astfel ca N' sa fie mijlocul segmentului [AM']. 2) Este esential ca A este exteriorul cercului?

Answer 1

1)
a.
O'N este linie mijlocie in tr. AOM
O'N=OM/2=r/2= constant, oricare ar fi pozitia lui M pe C(O,r)
prin urmare N se afla pe C(O',r/2)
b.
fie N'∈C(O',r/2)
se uneste A cu N'
prin O ducem o paralela la O'N' care  va intersecta  C(O,r) in M'
se poate arata ca A,N' si M' sunt coliniare pentru ca
O'N'=OM'/2
AO'=O'O si
OM'║O'N'

prin urmare AOM' este un triunghi in care O'N' este linie mijlocie si in
cosecinta AN'=N'M'

2)
nu

problema e de dificultate mare asa  ca nu am pretentia ca rezolvarea e tocmai usor de inteles
cu siguranta ma astept la unele replici dar macar e un inceput
orice comentariu la obiect e bine venit

pentru a lamuri rezultatul de la 1.b) propun o demonstratie simpla, vezi figura a doua.
se dau:
O'N' || OM'
AO'=O'O
O'N'=OM'/2
se va demonstra ca punctele A,N' si M' sunt coliniare
unim N' cu P, mijlocul lui OM'
O'N'=OP
O'N' || OP
rezulta ca OO'N'P este paralelogram, deci NP || OA
triunghiurile N'PM' si AO'N' sunt congruente (LUL) usor de aratat
prin urmare, fara sa intru in detalii avem:
∡AN'O'+∡O'N'P+∡PN'M'=180 grade c.c.t.d