Question

Fie A un punct pe un cerc de centru O si B un punct exterior cercului astfel incat OB intersecteaza cercul in punctul D. Aratati ca BA este tangenta la cerc in urmatoarele cazuri: a)AD=80° si ∡ABO=10°;b)∡ODA=70° si ∡ABO=50°

Answer 1

BA este tangentă la cerc dacă OA⊥AB (raza este perpendiculară pe tangentă în punctul de tangență)

Trebuie să demonstrăm că ΔOAB este dreptunghic în A.

a)

AD = 80°  ⇒  ∡AOD = 80°

în ΔOAB avem ∡OAB = 180° - ∡AOD - ∡ABO

∡OAB = 180° - 80° - 10° = 90°

⇒ OA ⊥ AB  ⇒  BA tangentă la cerc

b)

OA și OD raze  ⇒  ΔAOD isoscel cu baza AD

⇒ ∡OAD = ∡ODA = 70°

⇒ ∡AOD = 180° - 2 · 70° = 40°

în ΔOAB avem ∡OAB = 180° - ∡AOD - ∡ABO

∡OAB = 180° - 40° - 50° = 90°

⇒ OA ⊥ AB  ⇒  BA tangentă la cerc