Question

Fie A=x/x=3n + 2,n € N
Fie B=x/x=2p + 3,p € N
a) Aratati ca A Π B = taiat O taiat
b) Daca x € A si y € B, aflati restul impartiri numarului 2x + 3y la 6
c) Aratati ca 2003 € A Π B
Dau Coroana
Clasa 5

Answer 1

a. pentru ca A∩B≠Ф inseamna ca exista n si p∈N astfel incat
3n+2=2p+3
3n-2p=1
pentru n=p=1 relatia (1) este adevarata
Am demonstrat ca exista cel putin un nnatural si un p natural astfel incat intersectia celor doua multimi A si B sa nu fie vida
b. (2x+3y):6 (2)
x=3n+2 n∈N
y=2p+3 p∈N
inlocuim in relatia (2)
2(3n+2)+3(2p+3)=6n+4+6p+9=6(n+p)+13
6(n+p) divizibil cu 6
13:6 da restul 1
deci
(2x+3y):6 are restul 1
c. conditia de intersectie (vezi punctul a.) este ca 3n+2=2p+3
iar 2003∈A∩B, inseamna ca 2003 satisface ambele ecuatii (3n+2=2003 si 2p+3=2003)
nu ne ramane decat sa rezolvam cele doua ecuatii
3n+2=2003, n=667
2p+3=2003, p=1000
Deci pentru n=667 si p=1000, 2003 ∈ A si 2003 ∈B, deci 2003∈A∩B