Question

Fie A={x|x=3n+2,n€N} și B={y|y=2p+3,p€N} a) Aratati ca A intersectat cu B nu este egal cu multimea fara element (multimea vidă) b) Daca x€A si y€B , aflati restul impartirii numarului 2x+3y la 6. c) Aratati ca 2003 € A intersectat cu B.

Answer 1

Răspuns:

Explicație pas cu pas:

a) Dacă A∩B≠∅, ⇒ există valori pentru n și p, pentru care

x=y, adică 3n+2=2p+3 |-2, ⇒ 3n=2p+1.

întradevăr, pentru  n=3 și p=4, ⇒ 3·3=9=2·4+1.

Deci A∩B≠∅.

b) x∈A, y∈B, ⇒ 2x+3y=2·(3n+2)+3·(2p+3)=6n+4+6p+9=6n+6p+12+1=3·(2n+2p+4)+1, ⇒

rest = 1 .

c) 2003 ∈ A∩B, dacă 2003∈A și 2003∈B, adică ecuațiile următoare au soluții naturale:

3n+2=2003, ⇒ 3n=2003-2, ⇒ 3n=2001, ⇒ n=667∈N

2p+3=2003, ⇒ 2p=2003-3, ⇒ 2p=2000, ⇒ p=1000.

Deci 2003 este al 668-lea element a mulțimii A, și al 1001-lea element a mulțimii B.

⇒ 2003 ∈ A∩B.