Question

Fie A1,A2,A3,A4,A5,A6 mijloacele laturilor unui hexagon convex. Sa se arate ca triunghiurile A1A3A5 si A2A4A6 au aceleasi centre de greuate

Answer 1

Fie hexagonul $B_{1} B_{2} ... B_{6}$ de coordonate $B_{i} ( x_{i}, y_{i})$,  i∈{1,2,...,6). Fie $A_{1} A_{2}... A_{6} , hexagonul . cu .varfurile. cerute. de. problema, care .au$[tex]coordonatele A_{1}( \frac{ x_{1} + x_{2} }{2}, \frac{ y_{1}+ y_{2} }{2})... A_{6}( \frac{ x_{6} + x_{1} }{2}, \frac{ y_{6}+ y_{1} }{2}), Aflam.numai.absise. [/tex]pentru centrele de greutate a celor doua triunghiuri (ordonatele aflanduse in acelas mod) pentru 
Δ A1A3A5 abcisa va fi: $X_{135}= \frac{1}{3}( \frac{ x_{1}+ x_{2} }{2}+...+ \frac{ x_{5}+ x_{6} }{2} )= \frac{1}{6}( x_{1}+ x_{2}+...+ x_{6})$, iar pentru al doilea ΔA2A4A6 avem abcisa :$X_{246}= \frac{1}{6}( x_{2}+ x_{3} +...+ x_{6}+ x_{1})$ care coincide cu abscisa primului triunghi si de fapt cu abcisa centrului de greutate al hexagonului, analog si pentru ordonate , deci centrele de greutate ale triunghiurilor coincid si de fapt este acelas cu la hexagonului dat.