Question

Fie A1,A2,Am trei puncte distincte având afixele z1, z 2,z3. Sa se demonstreze ca aceste puncte sunt toate coliniare dacă și numai dacă z2-z1/z3-z2 este număr real

Answer 1

Răspuns:

Frumoasa problema. Eu as lua-o muncitoreste. Notam:

$z_1=x_1+y_1i, z_2=x_2+y_2i,z_3=x_3+y_3i$

Atunci $\frac{z_2-z_1}{z_3-z_2} = \frac{(x_2-x_1)+(y_2-y_1)i}{(x_3-x_2)+(y_3-y_2)i}=w$

Prin urmare, $(x_2-x_1)+(y_2-y_1)i = w[(x_3-x_2)+(y_3-y_2)i].$

Presupunem ca $w\in\mathbb R$. Din relatia anterioara rezulta ca

$x_2-x_1=w(x_3-x_2),\; y_2-y_1=w(y_3-x_2)$

De aici rezulta ca $\vec{A_1A_2}=w\vec{A_2A_3}$,

deci punctele A1.A2 si A3 sunt coliniare.

Reciproc, daca A1,A2 si A3 sunt coliniare, atunci $\vec{A_1A_2}=w\vec{A_2A_3}$, deci

$x_2-x_1=w(x_3-x_2),\; y_2-y_1=w(y_3-x_2)$.

de unde se ajunge la  $\frac{z_2-z_1}{z_3-z_2} = \frac{(x_2-x_1)+(y_2-y_1)i}{(x_3-x_2)+(y_3-y_2)i}=w$