Question

fie a1 ,a2 ...an ,n numere in progresie aritmetica n>=3 .Sa se arate ca $a_{1} +2 a_{2} +2 a_{3} +...+2 a_{n-1}+ a_{n} =(n-1)( a_{1} +an)$

Answer 1

Salut,

Suma din membrul drept devine:

$a_1+2\cdot(a_2+a_3+\ldots+a_{n-1})+a_n=a_1+2\cdot\dfrac{(a_2+a_{n-1})\cdot(n-2)}{2}+a_n.\\a_2+a_{n-1}=a_1+r+a_n-r=a_1+a_n.\;Deci\;suma\;din\;membrul\;drept\;devine:\\a_1+a_n+(a_1+a_n)\cdot(n-2)=(n-1)\cdot(a_1+a_n),\;ceea\;ce\;trebuia\;demonstrat.$

La începutul rezolvării, suma din paranteză are n-2 termeni (din toţi termenii de la a_1 la a_n lipsesc 2 termeni, primul şi ultimul, adică a_1 şi a_n). Deci din cei n termeni de la a_1 la a_n scădem cei 2 termeni care lipsesc.

Green eyes.