Question

Fie a1, a2,.......an... o progresie aritmetica cu termeni pozitivi .Sa se arate ca :
$\frac{1}{ \sqrt{a1} + \sqrt{a2} } + \frac{1}{ \sqrt{a2} + \sqrt{a3} } + ... \frac{1}{ \sqrt{an} + \sqrt{an + 1} } = \frac{ \sqrt{an + 1} - \sqrt{a1} }{r}$
​

Answer 1

Rationalizezi fractiile cu expresia conjugata, adica: la prima fractie amplifici cu

$\sqrt{a1} - \sqrt{a2}$

la a doua cu

$\sqrt{a2} - \sqrt{a3}$

si la ultima cu

$\sqrt{an} - \sqrt{an + 1}$

Dupa ce amplifici, la numitor vei folosi formula (a+b)(a-b)=a^2 - b^2, asa ca la prima fractie vei avea la numitor

${ \sqrt{a1} }^{2} - { \sqrt{a2} }^{2}$

asta este egala cu a1-a2, si pentru ca e progresie aritmetica cu termeni pozitivi, si primul termen il scazi pe al doilea care este mai mare, vei avea cu o ratie in minus, asa ca a1-a2=-r, si asta va fi numitorul comun tuturor

$\frac{ \sqrt{a1} - \sqrt{a2} }{ - r} + \frac{ \sqrt{a2} - \sqrt{a3} }{ - r} + ... + \frac{ \sqrt{an} - \sqrt{an + 1} }{ - r} = \frac{ \sqrt{a1} - \sqrt{a2} + \sqrt{a2} - \sqrt{a3} + ... + \sqrt{an} - \sqrt{an + 1} }{ - r} = \frac{ \sqrt{a1} + \sqrt{an + 1} }{ - r}$

Aici amplifici cu -1, si vei avea rezultatul final

$\frac{ \sqrt{an + 1} - \sqrt{a1} }{r}$

Sper ca te-am putut ajuta!:)