Question

Fie ΔABC și punctul D∈BC astfel încât C să se afle între B și D. Arătați că bisectoarea unghiului ACB și unghiul ACD sunt perpendiculare.

Answer 1

D se afla pe dreapta BC si C este intre cele doua puncte, asta inseamna ca punctele B,C,D sunt coliniare si atunci suma unghiurilor din C va fi de 180 de grade.
$\angle{ACB}+\angle{ACD}=180$
notam intersectia bisectoarei unghiului ACB cu latura AB cu litera F, si intersectia bisectoarei unghiului ACD cu segmentul AD cu E. Obtinem bisectoarele CF respectiv CE. Fiind bisectoare obtinem urmatoarele relatii
$\angle{BCF}=\angle{ACF}=\frac{\angle{ACB}}{2}$
$\angle{DCE}=\angle{ACE}=\frac{\angle{ACD}}{2}$
Ne uitam acum la unghiul format de cele 2 bisectoare CE si CF
$\angle{FCE}=\angle{ACF}+\angle{ACE}=\frac{\angle{ACB}}{2}+\frac{\angle{ACD}}{2}=\frac{\angle{ACB}+\angle{ACD}}{2}=\frac{180}{2}=90$
Daca unghiul format intre cele 2 bisectoare este de 90 grade, inseamna ca bisectoarele sunt perpendiculare.