Question

Fie abc un triunghi ascutitunghic cu AC>AB si D=pr BC A .
a)Demonstrati ca BD=a^2-b^2+c^2/2a, unde a=BC,b=AC,c=AB
b)Demonstrati ca pentru orice a,b,c apartine numerelor reale are loc relatia: 4a^2×c^2-(a^2-b^2+c^2)^2=(a+b+c)(a+b-c)(b+c-a)(c+a-b)
c)Demonstrati formula lui hering pentru aria triunghiului abc:
S=radical p(p-a)(p-b)(p-c), unde p=(a+b+c)/2.

Answer 1

Acea proiectie este practic inaltimea in triunghiul ABC din varful A pe latura BC, cu piciorul inaltimii fiind D, AD perpendicular pe BC.
a) triunghiul ADB este dreptunghic cu unghiul D=90 grade. Atunci catetele sunt AD si BD, ipotenuza este AB. Din teorema lui Pitagora avem
$AD^{2}+BD^{2}=AB^{2}\Rightarrow BD^{2}=AB^{2}-AD^{2}=c^{2}-AD^{2}$
triunghiul ADC este si el dreptunghic cu AD si CD catete si AC ipotenuza. Observam ca CD este restul segmentului BC, adica CD=BC-BD=a-BD
Facem din nou teorema lui Pitagora

$AD^{2}+CD^{2}=AC^{2}\Rightarrow AD^{2}=AC^{2}-CD^{2}=b^{2}-(a-BD)^{2}=b^{2}-a^{2}-BD^{2}+2aBD$
Inlocuim pe AD^2 din a doua ecuatie in prima
$BD^{2}=c^{2}-b^{2}+a^{2}+BD^{2}-2aBD\Rightarrow 2aBD=a^{2}-b^{2}+c^{2}\Rightarrow BD=\frac{a^{2}-b^{2}+c^{2}}{2a}$
b) Observam ca in partea stanga a egalitatii al doilea termen poate fi scris in functie de BD
$a^{2}-b^{2}+c^{2}=2aBD\Rightarrow (a^{2}-b^{2}+c^{2})^{2}=4a^{2}BD^{2}$
Acum inlocuim in ecuatie
$4a^{2}c^{2}-4a^{2}*BD^{2}=4a^{2}*(c^{2}-BD^{2})=4a^{2}*(c-BD)*(c+BD)=4a^{2}*(c-\frac{a^{2}+c^{2}-b^{2}}{2a})(c+\frac{a^{2}+c^{2}-b^{2}}{2a})=4a^{2}*\frac{2ac-(a^{2}+c^{2})+b^{2}}{2a}*\frac{2ac+a^{2}+c^{2}-b^{2}}{2a}=[b^{2}-(a^{2}-2ac+c^{2}]*[a^{2}+2ac+c^{2}-b^{2}]=[b^{2}-(a-c)^{2}][(a+c)^{2}-b^{2}]=(b-(a-c))*(b+(a-c))*((a+c)-b)*((a+c)+b)=(a+b+c)*(a+b-c)*(b+c-a)*(c+a-b)$
c) Ne uitam la partea din dreapta
$p*(p-a)*(p-b)*(p-c)=\frac{a+b+c}{2}*(\frac{a+b+c}{2}-a)*(\frac{a+b+c}{2}-b)*(\frac{a+b+c}{2}-c)=\frac{a+b+c}{2}*\frac{a+b+c-2a}{2}*\frac{a+b+c-2b}{2}*\frac{a+b+c-2c}{2}=\frac{(a+b+c)(b+c-a)(a+c-b)(a+b-c)}{16}$
Observi ca partea de sus este exact expresia de la punctul b. Atunci
$p*(p-a)*(p-b)*(p-c)=\frac{4a^{2}(c^{2}-BD^{2})}{16}=\frac{a^{2}(c^{2}-BD^{2})}{4}$
Aria unui triunghi este calculata de obicei ca inaltime*baza/2 In cazul nostru pentru inaltimea AD
$S=\frac{AD*BC}{2}\Rightarrow S^{2}=\frac{AD^{2}*a^{2}}{4}=\frac{a^{2}*(c^{2}-BD^{2})}{4}$
Deci din ultimele doua relatii rezulta ca
$S^{2}=<span>p*(p-a)*(p-b)*(p-c)</span>$