Question

Fie ABC un triunghi dreptunghic in A , AB=6cm, BC=10cm.Consideram BD bisec. unghiului ABC , D este pe AC si paralela CE la BD , E este pe AB
a) demonstrati ca trunghiu BCE este isoscel
b) aratati ca CE = 8radical din 5
c) perimetru triunghiului ABD

Answer 1

[BD - bisectoare ⇒∡DBC ≡ ∡ABD      (1)

BD || CE și BC - secantă ⇒ ∡DBC ≡ ∡BCE (alterne interne)      (2)


Din relațiile (1), (2) ⇒ ∡ABD ≡ ∡BCE      (3)

    
BD || CE și BE - secantă ⇒ ∡ABD ≡ ∡BEC ( corespondente)      (4)

Din relațiile (3), (4) ⇒ ΔBCE - isoscel, BE = BC = 10cm

Cu teorema lui Pitagora în ΔABC ⇒ AC = 8 cm

Cu teorema lui PItagora în ΔAEC ⇒ EC = 8√5cm.

Din teorema bisectoarei (aplicată pentru [BD) ⇒ DA/DC = BA/BC ⇒

⇒DA/DC = 6/10 ⇒ DA/(DC+DA) = 6/(10+6)⇒ DA/AC = 6/16 ⇒

⇒ DA/8 = 6/16 ⇒DA/8 = 3/8 ⇒ DA = 3 cm.

Cu teorema lui Pitagora în ΔABD ⇒ BD = 3√5 cm.

Perimetrul (ABD) = AB + AD + BD = 6 + 3 + 3√5 = 9 + 3√5 cm.

 

Answer 2

a)
∡ABD=∡DBC ipoteza
∡ABD=∡AEC corespondente
∡DBC=∡BCE alterne interne
din relatiile de mai sus rezulta ∡AEC=∡BCE deci tr.BCE este isoscel
b)
cu pitagora in ABC, AC=8
cu teorema bisectoarei
AB/BC=AD/(AC-AD)
inlocuim pe AB, BC si AC si rezulta
AD=3, DC=AC-AD=5
cu thales tr. ABD , AEC , BD║EC
AB/EB=AD/DC, inlocuim pe AB,AD si DC
EB=10
AE=16
cu pitagora CE=√(16^2+64)=8√5
c)
cu teorema fundamentala a asemanarii
BD/EC=AD/AC
BD=EC*AD/AC
BD=3√5
perimetru ABD
P=AB+AD+BD=6+3+3√5=3(3+√5)