Question

Fie ABC un triunghi,iar M,N,P mijloacele lat. AB,BC,respectiv AC.Calcultati sumele:MN+BM,MN+NP,AM+AP,CN+CP in functie de AB si AC si determinati punctele Q si R,pt. care MB+MN=MQ si PN+PC=PR.Aratati ca QR=MP(sunt la lectia cu vectori)

Answer 1

vectorial:
MN+BM=AC/2+BA/2=AC/2 - AB/2=(AC-AB)/2
MN+NP=AC/2+BA/2=AC/2 - AB/2=(AC-AB)/2 e acelasi rezultat pt. ca BM=NP
AM+AP=AB/2+AC/2=(AB+AC)/2
CN+CP=CM=CA+AB/2 (CM vector suma in CPMN si apoi in tr. CMA)
CN+CP=(2CA+AB)/2=(AB-2AC)/2

Q e unul din varfurile paralelogramul MBQN, Q este opus la M
paralelogramul se deseneaza usor
se duce o paralela prin B la MN si se prelungeste PN pana intersecteaza paralela anterioara in Q, faptul ca MBQN este paralelogram este simplu de inteles.

din paralelogramul MBQN avem:
MQ=MB+MN

R e unul din varfurile paralelogramul PNRC , R e opus lui P
paralelogramul s-a construit ducand o paralela prin C la PN care intersecteaza prelungirea segmentului [MN] in R
in acest caz avem:
PR=PN+PC

si acum geometric observam ca:
[QN]║[MB] si [QN]=[MB]=[AM]=[PN]=[CR] 
din asta deducem ca [CR]=[QN] si [CR]║[QN] deci NQRC este paralelogram (are 2 laturi opuse paralele si egale) deci:
[QR]=[NC]=[MN]si [QR]║[MP]
si in concluzie vectorii:
QR=MP pentru ca au acelasi modul si acelasi sens

ultima parte cred ca se putea demonstra si vectorial dar am preferat sa folosesc proprietatile liniei mijlocii intr-un triunghi (cu segmente).

fi atent ca am folosit de exemlu NC=vector si [NC] = segment
banuiesc ca sti la ce ma refer si sa interpretezi corect notatiile facute

daca ai nelamuriri sa scri la comment