Question

Fie ABC un triunghi oarecare. Prin punctul M din interiorul triunghiului, ducem paralele la laturile sale. Se formeaza trei triunghiuri care au laturile paralele cu laturile triunghiului dat. Notam cu S_1, S_2, S_3 ariile acestor triunghiuri, iar cu S aria triunghiului dat. Sa se arate ca 3(S_1+S_2+S_3)>= S.

Answer 1

triunghiurile DEM, IMH, MFG si ABC sunt asemenea (au toate unghiurile egale din paralelism) deci avem ecuatiile
S1/S=DE/AB
S2/S=IM/AB
S3/S=MF/AB
cum dreptele sunt paralele 2 cate doua, ajungem la concluzia ca AIMD, MHCG si BFME sunt paralelograme. deci IM=AD si MF=BE
adunam DE+IM+MF=AD+DE+EB=AB
adunam cele 3 ecuatii de mai sus si obtinem (S1+S2+S3)/S=(DE+IM+MF)/AB=AB/AB=1 deci S1+S2+S3=S
3(S1+S2+S3)=3S>=S
scuza-mi skillurile in paint