Question

Fie ABCA'B'C' o prisma triunghiulara dreapta cu baza triunghi echilateral,AB=12 cm ,AA'=16 cm,{M}=AB' intersectat cu BA' si {N}=BC' intersectat cu CB' a)Aratati ca MN||(ABC) b)d (B; (MN))=? c)Aria triunghiului AB'C=?

Answer 1

a)
stim ca o dreapta e paralela cu un plan daca e paralela cu o dreapta continuta in plan
in triunghiul AB'C MN e linie mijlocie pentru ca:
B'M=MA si
B'N=NC (diagonalele in dreptunghi sunt congruente si se intersecteaza la 1/2)
rezulta ca MN║AC
dar AC⊂(ABC) ceea ce inseamna ca MN║(ABC)

b)
pentru a calcula distanta de la B la MN desenam separat triunghiul A'BC' cu baza A'C' si MN linie milocie. ducem BR⊥A'C' care intersecteaza pe MN in P.
triunghiul A'BC' este isoscel, A'B=BC', (diagonale egale ale dreptunghiurilor AA'B'B si BB'C'C)
stim ca in tr. isoscel inaltimea e si mediana
cu pitagora in AB'B
A'B=√(AB^2+BB'^2)=√(144+256)
A'B=BC'=20
cu pitagora in A'BR
BR=√(A'B^2-A'R^2)=√(400-36)
BR=2√91
din asemanarea tr. BMN si A'BC', avem:
BP/BR=1/2 (am tinut cont ca MN e linie mijlocie)
BP=√91 si este tocmai distanta cautata

c)
tr. AB'C este isoscel, AB'=B'C=20 (diagonala dreptunghiului AA'B'B calculata mai sus)
baza AC=12
ducem inaltimea din B' pe AC, B'S⊥AC, S∈AC
cu pitagora
B'S=√(AB'^2-AS^2)=√(400-36)
B'S=2√91 ca si BR din tr.A'BC'
aria tr. AB'C
A=AC x B'S/2=12 x 2√91/2
A=12√91

sa faci desenele corect si sa urmaresti cu atentie fazele parcurse
nu am intrat in toate detaliile pentru ca mi-ar trebui sa scriu prea mult
te lamuresc daca e cazul