Fie ABCA’B’C prisma triunghiulara regulata cu AB=6 cm si AA’=12
Sa se arate sinusul unghiului dintre A’C si BC’ este egal cu radical din 51 supra 10
Răspunsuri la întrebare
Răspuns:
Explicație pas cu pas:
ΔABC echilateral, AA'⊥(ABC). AB=6, AA'=12. A'C=BC'. Dreptele A'C si BC' necoplanare. Construim E=S(C)B si E'=S(C')B'. (puncte simetrice).
Atunci BC'║CE', si deci sin(∠(A'C,BC'))=sin(∠(A'C,CE')) si ΔA'CE' isoscel (A'C=CE'). Deci sin(∠(A'C,CE'))=sin(∠A'CE').
Din ΔA'AC, ⇒A'C²=AC²+A'A²=6²+12²=6²·5=CE'².
In ΔA'B'E', A'B'=6, B'E'=2·B'C'=2·A'B'. A'C' este mediana in ΔA'B'E', si A'C'=(1/2)·B'E', deci ΔA'B'E' este dreptunghic in A'. ⇒A'E'²=B'E'²-A'B'²=12²-6²=6²·3. Atunci in ΔA'CE', dupa Teorema cosinusului, ⇒
A'E'²=A'C²+CE'²-2·A'C·CE'·cos(∠A'CE'), ⇒
6²·3=6²·5+6²·5-2·6²·5·cos(∠A'CE') |:6², ⇒3=10-10·cos(∠A'CE'), ⇒10·cos(∠A'CE')=7, ⇒cos(∠A'CE')=7/10.
Din sin²(∠A'CE')+cos²(∠A'CE')=1, ⇒sin²(∠A'CE')=1-(7/10)²=51/100, ⇒sin(∠A'CE')=√51/ 10=sin(∠(A'C,CE')).
P.S. Daca inca nu esti prieten cu trigonometria, atunci ...
ΔA'C'E' este isoscel cu baza A'E'. Daca CK⊥A'E', K∈A'E', atunci si C'K⊥A'E' (dupa T3⊥), atunci C'K este linie mijlocie, deci C'K=(1/2)·A'B'=3cm. Din ΔCC'K, ⇒CK²=12²+3²=3²·17. Atunci CK=3√17. Aplicam formula ariei Aria(ΔA'CE')=(1/2)·A'E'·CK=(1/2)·6√3·3√17=9√51. Dar Aria(ΔA'CE')=(1/2)·A'C·CE'·sin(∠A'CE'). Deci (1/2)·6√5·6√5·sin(∠A'CE')=9√51. ⇒18·5·sin(∠A'CE')=9√51, deci sin(∠A'CE')=√51/ 10
Răspuns:
Explicație pas cu pas in cele 2 figuri
