Question

Fie ABCD patrat ,S si P mijloacele laturilor [CD],respectiv [BC],iar aria triunghiului ADS este egala cu 16 cm². a)aratati ca aria trapezului ABCS este egala cu 48 cm² b)demonstrati ca BPSD este trapez isoscel. c) aratati ca DP perpendicular pe AS

Answer 1

a)
aria ADS=AD*DS/2, DS=AD/2.
16=AD^2/4
AD=AB=BC=CD=8 cm
ABCS este trapez dreptunghic.
aria ABCS=(AB+CS)*AD/2=(8+4)*8/2
aria ABCS=48 cm2
b)
triunghiurile PCS si BCD sunt dreptunghice isoscele in care avem:
∡CPS=∡CSP=∡CBD=∡CDB=45°, rezulta PS║BD (vezi unghiuri corespondente congruente).
in plus BP=DS=8/2=4 cm 
prin urmare BPSD este un trapez cu laturile neparalele congruente deci este trapez isoscel .
c)
notam ∡DPS=∡PDB=x
notam PD∩AS={O}
tr. ABS si DCP sunt congruente ⇒ ∡PDC=∡DAS si ∡DPC=∡ASD
observam ca:
∡DPC=45+x
∡PDC=∡DAS=45-x
∡ASD=45+x
∡ASP=180-∡PSC-∡ASD=180-45-45-x
∡ASP=90-x
in tr. POS avem: x+∡ASP=90° ⇒ ∡POS=90° ⇒ DP⊥AS