Question

Fie ABCD patrulater convex si M apartine de AB, M este mijloc, N apartine de BC, N mijloc. Sa se demonstreze ca
a)AD+BC=MN+MN (toti vectori)
b)DB+MN=DM+NB (vectori)

Answer 1

a) Desenăm patrulaterul ABCD și fixăm vârfurile vectorilor

[tex]\it \overrightarrow{AD},\ \ \overrightarrow{DC},\ \ \overrightarrow{AC}, \ \ \overrightarrow{MN}. \\\;\\ \overrightarrow{AD} + \overrightarrow{DC} = \overrightarrow{AC}\ \ \ (1) [/tex]

Deoarece MN este linie mijlocie în Δ ABC, rezultă:

[tex]\it \overrightarrow{AC} =2\overrightarrow{MN} \Rightarrow \overrightarrow{AC} = \overrightarrow{MN}+\overrightarrow{MN} \ \ \ (2) \\\;\\ (1), (2) \Rightarrow \overrightarrow{AD} +\overrightarrow{DC}=\overrightarrow{MN}+\overrightarrow{MN}[/tex]

b)  Desenăm patrulaterul ABCD și fixăm vârfurile vectorilor

$\it \overrightarrow{MN} ,\ \ \overrightarrow{NB},\ \ \overrightarrow{MB},\ \ \overrightarrow{DM},\ \ \overrightarrow{DB}$.

Vom avea:

[tex]\it \overrightarrow{DM}+\overrightarrow{MB}=\overrightarrow{DB} \ \ \ (1) \\\;\\ \overrightarrow{MN}+\overrightarrow{NB}=\overrightarrow{MB} \ \ \ (2) \\\;\\ (1), \ (2) \Rightarrow \overrightarrow{DM}+\overrightarrow{MN}+\overrightarrow{NB}=\overrightarrow{DB} \Rightarrow \overrightarrow{DM}+\overrightarrow{NB}= \overrightarrow{DB}-\overrightarrow{MN}\Rightarrow \\\;\\\Rightarrow \overrightarrow{DB}+\overrightarrow{NM}= \overrightarrow{DM}+\overrightarrow{NB} [/tex]