Question

fie ABCD UM DREPTUNGHI, AB=2/3×BC. Se considera punctele M,N€(BC) astfel incat [BM]=[MN]=[NC] si fie P mijlocul lui (AB). ARATATI CA:
a) m(DMP)= 90°.
b) triunghiul PND este dreptunghic isoscel.

Answer 1

a) Observam ca
$BC=BM+MN+NC=3BM=3NC$(1)
$BP=\frac{AB}{2}=\frac{2}{3}\frac{BC}{2}=\frac{BC}{3}=\frac{3BM}{3}=BM$(2)
$MC=MN+NC=2NC=\frac{2BC}{3}$(3)
In dreptunghiul ABCD laturile opuse sunt congruente, atunci
$CD=AB=\frac{2BC}{3}=MC$(4)
Ne uitam acum la triunghiul BPM unde din relatia 2 stim ca BP=BM, deci triunghiul este isoscel. Atunci avem unghiurile congruente
$\angle{BPM}=\angle{BMP}$
Unghiurile unui dreptunghi sunt drepte, atunci $\angle{ABC}=\angle{PBM}=90$ Atunci avem
$\angle{PBM}+\angle{BPM}+\angle{BMP}=180\Rightarrow 2\angle{BMP}=180-\angle{PBM}=180-90=90\Rightarrow \angle{BMP}=\frac{90}{2}=45$(5)
Ne uitam la triunghiul CMD. Din relatia 4) MC=CD deci triunghiul CMD este isoscel cu $\angle{CMD}=\angle{CDM}$. Fiind dreptunghi $\angle{BCD}=\angle{DCM}=90$ atunci avem
[tex]\angle{DCM}+\angle{CMD}+\angle{CDM}=180\Rightarrow 2\angle{CMD}=180-\angle{DCM}=180-90=90\Rightarrow \angle{CMD}=\frac{90}{2}=45[/tex](6)
Din 5 si 6 si vazand ca unghiurile BMP CMD si PMD fiind suplimentare
$\angle{BMP}+\angle{CMD}+\angle{PMD}=180\Rightarrow 45+45+\angle{PMD}=180\Rightarrow \angle{PMD}=180-90=90$
b) Observam relatiile
$BN=2BM=2\frac{BC}{3}=BC$(1)
si mai stim din enunt si din relatia 1) de la a)
$BM=NC=BP$(2)
Atunci ne uitam la triunghiurile BNP si NCD. Ambele sunt triunghiuri dreptunghice cu unghiurile drepte $\angle{PBN}=\angle{NCD}=90$ si din relatiile 1 si 2 de mai sus vedem ca ambele catete ale triunghiurilor dreptunghice sunt congruente BN=CD si BP=NC
Atunci cele 2 triunghiuri sunt congruente(cazul CC cateta-cateta) si inseamna ca si ipotezele sunt congruente adica PN=ND.Ceea ce inseamna ca PND este triunghi isoscel.
Cele 3 triunghiuri sunt congruente, inseamna ca si unghiurile sunt congruente, deci $\angle{CND}=\angle{BPN}$
BPN si BNP sunt unghiurile complementare ramase in triunghiul dreptunghic BPN deci suma lor este de 90 grade $\angle{BPN}+\angle{BNP}=90$
Observam ca unghiurile BNP,PND si CND sunt suplimentare, atunci
$\angle{CND}+\angle{BNP}+\angle{PND}=180\Rightarrow \angle{BPN}+\angle{BNP}+\angle{PND}=180\Rightarrow 90+\angle{PND}=180\Rightarrow \angle{PND}=180-90=90$ deci triunghiul isoscel PND este dreptunghic