Question

Fie ABCD un dreptunghi,AC intersectat cu BD={O},AB=12 cm,BC=9 cm si AC=15 cm.Fie punctele E si F mijloacele segmentelor (OC) si (BE).Daca G este simetricul punctului O fata de punctul F si BG intersectat cu DC={H},determinati: a) aria si perimetrul patrulaterului ABHC; b) aria si perimetrul patrulaterului ABHD; c) valoarea raportului dintre aria triunghiului OBC si aria patrulaterului OBGE.

Answer 1

se demonstreaza usor ca daca segmentele OG si EB  concurente in F se injumatatesc OF=FG si EF=FB  atunci O,B,G si E sunt varfurile unui paralelogram.
in cazul nostru BG║OE ⇒ BH║AC si in plus CH║AB rezulta ca ABHC este paralelogram cu aria A1
A1=CH*BC=12*9=108 cm2
P1=AB+BH+CH+AC=12+15+12+15=54 cm
b)
A2=aria ABCD+aria BCH=12*9+12*9/2=162 cm2
P2=AB+BH+CH+DC+AD=12+15+12+12+9=60 cm

c)
aria tr OBC este 1/4 din aria ABCD (diagonalele AC si BD determina pe ABCD  4 triunghiuri echivalente)
aria OBC=27 cm2
in tr. OBC, triunghiurile OBE si EBG sunt echivalente
in OBGE, triunghiurile OBE si BGE sunt echivalente
aria paralelogramului OBGE=2 * aria OEB=2* aria OBC/2
aria OBGE= aria OBC=27 cm2 
in consecinta raportul ariilor este 1