Question

Fie ABCD un paralelogram. Bisectoarea unghiului A intersectează diagonala BD in M, iar bisectoarea unghiului D intersectează diagonala AC in N.
a)Demonstrati ca DM×AB=MB×AD.
b)Demonstrati ca MN este paralela cu AD.
Va rog sa imi faceti si desenul
Ajutor!

Answer 1

a)
aplicam teorema bisectoarei in tr.ABD
DM/MB=AD/AB (1) sau altfel scris avem:
DM*AB=MB*AD

b)

aplicam teorema bisectoarei in tr.ACD
AN/NC=AD/DC=AD/AB, tinem seama de (1) si:
DM/MB=AN/NC aplicam proprietatea rapoartelor egale
(DM-MB)/MB=(AN-NC)/NC
OM/MB=ON/NC care prin reciproca lui thales ne spune ca MN║BC
dar BC e paralela cu AD si prin urmare MN║AD

se stie ca intr-un paralelogram diagonalele se injumatatesc:
BO=OD
AO=OC