Question

Fie ABCD un paralelogram si punctele E ∈ (AB) si F ∈ (CD), (AE) ≡ (CF).
a) aratati ca AECF este paralelogram.
b) aratati ca AF ║CE
c) demonstrati ca punctele E,O,F sunt coliniare, unde 0 este centrul paralelogramului ABCD

Answer 1

AE si CF fac parte din dreptele AB si CD. AB si CD sunt laturi opuse din paralleogramul ABCD deci sunt paralele, ceea ce inseamna ca si AE si CD sunt paralele. Mai stim ca AE=CF. Atunci patrulaterul AECF are doua laturi opuse paralele si congruente, inseamna ca patrulaterul AECF este paralelogram
b) Daca AECF este paralelogram, laturile opuse sunt paralele, deci AF este paralel cu CE
c) Intr-un paralelogram, diagonalele se intersecteaza la jumatatea lor. Asta inseamna ca diagonalele AC si BD ale paralelogramului ABCD se injumatatesc intr-un punct notat cu O care este centrul paralelogramului. Asta inseamna ca O este la jumatatea diagonalei AC
AECF este tot paralelogram, deci diagonalele sale se injumatatesc tot la intersectia lor sa zicem M, ceea ce inseamna ca M este la mijlocul lui AC si al lui EF. Dar O este si el la mijlocul lui AC, ceea ce inseamna ca punctul O si punctul M sunt de fapt acelasi punct. Deci O va fi si mijlocul diagonalei EF, atunci E,O,F sunt coliniare