Question

Fie ABCD un patrulater convex cu AB II CD, O punctul de intersectie a lui AC cu BD si M € CD astfel incat BM II AC. Daca DC/CM=OA/OC arata ca patrulaterul ABCD este paralelogram

Answer 1

un patrulater convex cu doua laturi paralele este fie un trapez fie un paralelogram daca cele 2 laturi paralele sunt egale.
Hai sa presupunem ca ar arata ca un trapez cum este in figura atasata

stim ca AC||BM(1). M este prelungirea lui CD, atunci CM este coliniar cu CD.
Dar stim ca CD||AB, CM coliniar cu AM, rezulta ca CM||AB(2)
Din 1 si 2 rezulta ca patrulaterul ACMB este un paralelogram(patrulater cu laturile paralele 2 cate 2) de unde rezulta ca laturile paralele sunt si congruente, adica AB=CM
Ne uitam acum si la triunghiurile AOB si COD. Observam ca toate unghiurile din cele 2 triunghiuri sunt congruente 2 cate 2
$\angle{CDO}=\angle{ABO}$ unghiuri alterne interne ale secantei BD la segmentele paralele AB||CD
$\angle{COD}=\angle{AOB}$ unghiuri opuse la varf punctul O este la intersectia din AC si BD. Atunci si ultimele 2 unghiuri din triunghiuri sunt egale pentru ca suma unghiurilor este de 180 de grade.
Doua triunghiuri cu unghiuri congruente sunt triunghiuri asemenea, atunci laturile opuse unghiurilor congruente sunt proportionale 2 cate 2, adica
$\frac{OA}{OC}=\frac{AB}{CD}$
Atunci avem urmatoarele relatii tinand cont si de cea din enunt
$\frac{OA}{OC}=\frac{CD}{CM}=\frac{CD}{AB}$ si cu egalitatea de fractie de mai sus avem
$\frac{AB}{CD}=\frac{CD}{AB}\Rightarrow AB^{2}=CD^{2}\Rightarrow AB=CD$ avem atunci AB||CD si AB=CD 2 laturi paralele si congruente deci patrulaterul ABCD este un paralelogram.