Question

Fie ABCD un patrulater covex astfel incat AC ∩ BD=[0].Stiind ca M,N,P,Q sunt mijloacele laturilor AB,BC,CD,DA si ca m(∡AOB),m(∡OBA) si m(∡BAO) sunt invers proportionale cu numerele 0,2;0,5 si 0,(3),studiati natura patrulaterului MNPQ.

Answer 1

MN este linie mijlocie în triunghiul ABC, deci MN este paralel cu AC și jumătate din AC. La fel pentru PQ în triunghiul ACD. Rezultă că MN și PQ sunt paralele și egale, deci MNPQ este paralelogram.
Fie $\widehat{AOB}=x, \ \widehat{OBA}=y, \ \widehat{BAO}=z$
Atunci $\frac{x}{5}=\frac{y}{2}=\frac{z}{3}=\frac{x+y+z}{10}=\frac{180}{10}=18$
Rezultă $x=90$ deci AOB este unghi drept, adică AC și BD sunt perpendiculare. Cum două laturi alăturate din MNPQ sunt paralele fiecare cu câte o diagonală a lui ABCD, rezultă că sunt perpendiculare. Deci MNPQ este dreptunghi.