Question

Fie ABCD un romb şi (O) = AC n BD. Notăm cu M, N, P, Q proiectiile punctul pe laturile AB, BC, CD, respectiv DA a) Arătaţi că OM=OQ. b) Demonstrați că punctele M, O şi P sunt coliniare. c) Demonstrati că MNPQ este un dreptunghi​

Answer 1

Răspuns:

Ai desenul atasat.

a)

Aratam ca in mijlocul rombului se formeaza 4 triunghiuri congruente:

ABCD romb, DB diagonala ⇒ DB este bisectoarea ∡ADC si a ∡ABC

⇒ ∡QDO ≡ ∡PDO ≡ ∡NBO ≡ ∡MBO

in romb diagonalele se injumatatesc, deci avem ca:

DO ≡ BO

cum triunghiurile ODQ, ODP, OBN si OBM sunt dreptunghice, avem prin cazul CU ca:

Δ ODQ ≡ Δ ODP ≡ Δ OBN ≡ Δ OBM

⇒ toate liniile importante din aceste triunghiuri sunt congruente, inclusiv inaltimile, deci:

⇒ OM ≡ OQ ≡ ON ≡ OP

b)  

in mod similar (cazul CU, cu catetele AO ≡ OC si unghiurile taiate de bisectoare din varfurile A si C) demonstram ca:

Δ OAQ ≡ Δ OAM ≡ Δ OCP ≡ Δ OCN

din aceste doua serii de triunghiuri congruente, rezulta ca in jurul punctului O avem urmatoarele unghiuri congruente:

∡QOD ≡ ∡POD ≡ ∡NOB ≡ ∡MOB (notam aceste unghiuri cu α) si

∡QOA ≡ ∡POC ≡ ∡NOC ≡ ∡MOA (notam aceste unghiuri cu β)

∡POM = 2α + 2β

stim ca punctele D, O si B sunt coliniare (DB diagonala, O intersectia diagonalelor)

⇒ 2α + 2β = 180°

⇒ ∡POM = 180°, adica punctele P, O si M sunt coliniare

c)

din Δ ODQ ≡ Δ ODP ≡ Δ OBN ≡ Δ OBM

si Δ OAQ ≡ Δ OAM ≡ Δ OCP ≡ Δ OCN

⇒ AQ ≡ AM ≡ PC ≡ CN si DQ ≡ MB ≡ DP ≡ NB

⇒ in Δ ADB, QM imparte AD si AB in segmente congruente ⇒ QM ║ DB

 in Δ CDB, PN imparte CD si CB in segmente congruente ⇒ PN ║ DB

 in Δ ADC, QP imparte AD si DC in segmente congruente ⇒ QP ║ AC

 in Δ ABC, MN imparte AB si BC in segmente congruente ⇒ MN ║ AC

⇒ QM ║ PN si OQ ║ MN

⇒ MNPQ paralelogram

am demonstrat mai devreme ca OM ≡ OQ ≡ ON ≡ OP

si M, O, P coliniare

similar se demonstreaza ca N, O, Q sunt coliniare

⇒ MP si NQ sunt diagonalele lui MNPQ si MP ≡ NQ

⇒ MNPQ dreptunghi

Explicație pas cu pas: