Question

Fie ABCD un tetraedru regulat cu latura AB=6 cm.
a) Calculati distanta de la A la planul (BCD).
b) Calculati tangenta unghiului format de muchia AB cu planul (BCD).

Answer 1

Luam punctele O,M astfel incat AO-inaltime, perpendiculara pe plan, (O coincide cu centrul de greutate cum avem triunghi echilateral) , si punctul M la mijlocul lui BC (DM-mediana).

Asfel, avem DO=2/3*DM
din formulele ariilor triunghiului echilateral, S=l*h/2=l*l*sqrt(3)/4. (inlocuim in formula, l=6, h=DM)
=> 6*DM=36*sqrt(3)/4( dupa simplificari) => DM=3*sqrt(3) => DO=2*sqrt(3)

In triunghiul AOD, unghiul O e de 90°=> AO^2=AD^2-DO^2 =>AO=sqrt(36-12)=sqrt(24)=2*sqrt(6)

b) unghiul dintre AB si planul BCD il constituie unghiul ABO. stim ca BO=DO=2*sqrt(3)--(triunghi echilateral)
tg=cateta opusa/cateta alaturata = AO/BO = 2*sqrt(6)/2*sqrt(3) = sqrt (2)