Question

Fie ABCD un tetraedru și M apartine lui (AD) , N aparține lui (BD) și P aparține lui (CD) astfel încât MA supra MD = 3 supra 2 , NB suprea BD = 3 supra 5
și PD supra DC = 2 supra 5 . Arătați că (MNP) || (ABC)

Answer 1

pentru inceput sabilim proportiile

Din ipoteza avem: MA/MD=3/2=> 2MA=3MD
Dar AD=MD+MA=MD+3MD/2=5MD/3=> MD/AD=2/5   (1)

Din ipoteza avem: NB/BD=3/5=> 
Dar ND/BD=(BD-NB)/BD=BD/BD-NB/BD=1-3/5=2/5=> ND/BD=2/5   (2)

Din ipoteza avem: PD/DC=2/5    (3)=> 

In ΔDBC avem ND/BD=2/5=PD/DC=NP/BC=> NP||BC
In ΔDBA avem ND/BD=2/5=MD/AD=MN/AB=> MN||AB
In ΔDCA avem PD/DC=2/5=MD/AD=PM/AC=> MP||AC
=> daca NP, PM si MN⊂ planul MNP 
si AB, BC, AC ⊂ planul ABC
atuci (MNP) || (ABC)