Question

Fie ABCD un trapez dreptunghic (AD perpendicular pe CD). Aratati ca diagonalele AC si BD sunt perpendiculare daca si numai daca lungimea laturii AD este media geometrica a lungimilor bazelor.

Answer 1

Concluzia din enunț se poate transpune în relația:

AC ⊥ BD ⇔ AD² = AB·CD

"⇒" (demonstrăm prima implicație, adică AC ⊥ BD ⇒ AD² = AB·CD).

Ducem DF||AC, (F∈AB)      (1)

CD||AB și F∈AB ⇒ CD||AF      (2)

(1), (2) ⇒ ACDF - paralelogram ⇒ CD = AF      (3)

Știm că AC⊥BD      (4)

(1), (4) ⇒ DF ⊥ BD ⇒ΔDFB- dreptunghic în D ⇒m(∡D) = 90°.

DA⊥FB ⇒ DA - înălțime corespunzătoare ipotenuzei FB.

Cu teorema înălțimii ⇒ AD² = AB ·AF  (5)

(3), (5) ⇒ AD² = AB · CD

$"\Leftarrow "$

AD² = AB · CD      (1)

Fie  DF||AC, (F ∈ AB),  rezultă ACDF - paralelogram ⇒ CD=AF     (2)

(1), (2) ⇒ AD² = AB · AF      (3)

Pentru că AB ≠  AF, din reciproca teoremei înălțimii ⇒ΔDFB dreptunghic 

în D ⇒ DF⊥BD, dar DF || AC ⇒ AC ⊥ BD.