Question

Fie ABCD un trapez isoscel,cu AB||CD si cu diagonalele perpendiculare. Daca AB=4 cm si CD=8 cm, calculati:
a) lungimea inaltimii;
b) lungimea diagonalei si perimetrul.

Answer 1

fie O intersectia diadonalelor
deoarece avem un trapez isoscel, AO=BO=x si DO=CO=y 
deci AOB si COD sunt triunghiuri dreptunghice isoscele, de unde aflam ca
x^2+x^2=AB^2   2x^2=16   x=2rad2
y^2+y^2=CD^2   2y^2=64   y=4rad2
diagonalele sunt egale D=x+y=6rad2
-ducem OP perpendiculara pe AB, deci in triunghiul AOB isoscel, OP este si mediana (AP=BP=AB/2=2)
OP^2=x^2-AP^2=8-4=4, deci OP=2
-ducem OR perpendiculara pe CD, deci in triunghiul COD, OR isoscel este si mediana (CR=DR=CD/2=4)
OR^2=y^2-DR^2=32-16=16, deci OR=4
Atunci inaltimea PR=2+4=6
Ducem inaltimile din B si C (BM si CN cu M,N apartin lui DC).Rezulta ca MN=AB(s-a format un dreptunghi!) deci MC+ND=(DC-AB)=4. Dar acestea sunt si egale, deci
MC=ND=2
In triunghiul dreptunghic MCB aplic Pitagora
BC^2=BM^2+MC^2=PR^2+MC^2=36+4=4=
BC=2rad10
Perimetrul P=4+8+2*2rad10=12+2rad10