Question

Fie ABCD un trapez isoscel cu diagonalele perpendiculare. Mijloacele laturilor [AB] [BC] [CD] si [DA] sunt E,F,G,H.
Aratati ca:
a) EFGH este patrat
b)aria lui ABCD=EG la a doua

Answer 1

a) Pentru a arata ca EFGH este patrat, este suficient sa aratam, de ex., ca diagonalele (HF si EG ) sunt congruente si perpendiculare.
Ca sunt congruente stim deja, din proprietatea trapezului isoscel ortodiagonal , care spune ca:
lm (linia mijlocie) = h (inaltimea)
lm =HF
h= EG

⇒HF = EG      sau   [HF] ≡ [EG]

Sa vedem daca sunt perpendiculare :
HF II DC II AB
GE _I_AB _I_DC

⇒ GE _I_HF

b) A trapezului  ABCD = lm × h = h ×h=h² = EG²

Answer 2

a) O sa demonstram pe pasi ca EFGH este patrat
in primul rand sa demonstram ca este paralelogram.
EF este linie mijlocie in trounghiul ABC, de unde reiese ca:
$EF=\frac{AC}{2}$ si $EF||AC$(1)
Apoi, GH este linie paralela in ADC,
$GH=\frac{AC}{2}$ si $GH||AC$(2)
Din 1 si 2 reiese ca $EF=GH$ si $EF||GH$ doua laturi opuse egale si paralele sunt suficiente pentru a demonstra ca EFGH este un paralelogram

Acum sa demonstram ca este un romb. Pentru asta, 2 laturi alaturate trebuie sa fie egale

FG este linie mijlocie in triunghiul BCD, de unde rezulta ca:
$FG=\frac{BD}{2}$ si $FG||BD$(3)
Dar stim ca trapezul este isoscel $AC=BD$ (4)
Atunci, din (2)(3)(4) Rezulta ca doua laturi alaturate sunt egale: $FG=GH$ asa ca am demonstrat ca e romb

Acum, ca sa demonstram ca este patrat, mai trebuie sa demonstram ca are un unghi de 90 grade. Din (3) stim ca FG este paralela cu BD, din (2) stim ca AC este paralela cu AC, dar mai stim si ca AC este perpendicular pe BD

Din toate astea rezulta ca si FG este perpendicular pe GH, adica $\widehat{FGH}=90$ Un romb cu un unghi de 90 grade este un patrat

b) Sa denumim intersectia diagonalelor cu O.
1) Stim ca acest trapez este isoscel deci are diagonale egale AC=BD
2) Stim ca raportul de intretaiere a diagonalelor este egale, deci
$\frac{AO}{OC}=\frac{}BO{OD}$ Atunci rezulta prin adunarea denumitorilor la numitori
$\frac{AO}{AC}=\frac{}BO{BD}\RightArrowAO=OB$
Atunci, triunghiul AOB este isoscel, si mai stim ca $\widehat{AOB}=90$
Din moment ce este dreptunghic isoscel, rezulta ca OE care este mediana. va fi in acelasi timp si bisectoare, $\widehat{AOE}=\frac{1}{2}\widehat{AOB}=45$

In mod asemanator, OC=OD, COD este triunghi isoscel, OC este perpendicular pentru OD pentru ca AC este perpendicular pe BD. si atunci mediana OG va fi si bisectoare pentru unghiul drept
$\widehat{DOG}=\frac{1}{2}\widehat{DOC}=\frac{1}{2}90=45$

Acum insumam toate unghiurle din partea stanga a lui O
$\widehat{DOG}+\widehat{DOA}+\widehat{AOE}=45+90+90=180$ unde am folosit din nou faptul ca AC perpendicular BD si atunci $[\widehat{DOA}=90$

Daca unghiurile din jurul lui O dau 180 impreuna, tocmai am demonstrat ca O impreuna cu E si G sunt coliniare, asta inseamna ca segmentul EG contine si pe O

Acum, mai stim ca mediana unui triunghi dreptunghic corespunzatoare din ipotenuza este jumatate din ipotenuza

Aplicand aceasta regula pentru triunghiurile dreptunghice AOB si DOC cu medianele OE,OG duse pe ipotenuzele AB si DC obtinem
$OE=\frac{1}{2}AB$
$OG=\frac{1}{2}CD$

Atunci $EG=OE+OG=\frac{1}{2}AB+\frac{1}{2}CD=\frac{AB+CD}{2}$
Apoi, observam ca EG este linie mijlocie pe bazele trapezului, ceea ce inseamna ca este egala cu inaltimea
$EG=h$

Atunci avem
$A_{ABCD}=\frac{AB+CD}{2}h=EG*h=EG*EG=EG^{2}$
Tocmai am demonstrat relatia