Question

Fie ABCD un trapez isoscel cu diagonalele perpendiculare.
Mijloacele laturilor [AB], [BC], [CD] şi [DA] sunt E, F, G, respectiv H. Aratati că:
a) EFGH este pătrat;
b) Aria lui ABCD=EG la pătrat.

Answer 1

a) În triunghiurile ABC și ADC, EF și HG sunt linii mijlocii, deci sunt paralele cu AC și deci egale cu 1/2  din AC  ⇒că patrulaterul EFGH are două laturi opuse paralele și congruente, deci este paralelogram. Celelalte două laturi sunt paralele cu BD și egale cu 1/2 BD, care este egală cu AC ⇒ paralelogramul este romb
dar diagonalele trapezului sunt perpendiculare, rezultă că  EF _I_ FG ⇒ ca  rombul este pătrat.
b) Notam  cu O intersecția diagonalelor
 Triunghiurile AOB și COD sunt dreptunghice și isoscele ⇒ EO este și mediană și înălțime.
de asemeni  OGeste și mediană și înălțime ⇒   E, O și G sunt coliniare și deci EG este înălțime în trapez.
 HF este linie mijlocie în trapez și, pe de o parte este egală cu( AB+CD) /2, pe de altă parte este egală cu EG (proprietate a trapezului isoscel :în cazul în care diagonalele sunt perpendiculare, înălțimea este egală cu linia mijlocie, iar aria este egală cu pătratul înălțimii)
Atunci A trapezului  ABCD = (AB+CD)EG/2=HF×EG=EG²