Question

Fie ABCDEF un hexagon regulat.
Aflati suma AB+CD+EF,unde AB ,CD si EF sunt vectori!!!

Answer 1

Formeaza diagonalele AD si BE ale hexagonului. Stim ca intr-un hexagon regulat, toate unghiurile au masura de 120 de grade, iar diagonalele functioneaza ca bisectoare, asa ca stim deja ca
$\widehat{EBC}=\frac{1}{2}\widehat{ABC}=\frac{1}{2}120=60$
$\widehat{FAD}=\frac{1}{2}\widehat{FAB}=\frac{1}{2}120=60$
$\widehat{ADC}=\frac{1}{2}\widehat{CDE}=\frac{1}{2}120=60$
$\widehat{FEB}=\frac{1}{2}\widehat{FEC}=\frac{1}{2}120=60$

Notam cu O intersectia celor doua diagonale. Atunci sa ne uitam la patrulaterele BCDO si AFEO.

In BCDO, vedem ca unghiurile opuse sunt egale cu 60 grade, deci egale intre ele
$\widehat{EBC}=\widehat{OBC}=\widehat{ADC}=\widehat{ODC}=60$
Vedem de-asemenea ca unghiurile alaturate sunt suplementare(suma lor face 180 de grade) din moment ce: $\widehat{BCD}=120$
Acestea sunt dovezi suficiente ca BCDO este paralelogram


In AFEO, vedem ca unghiurile opuse sunt egale cu 60 grade, deci egale intre ele
$\widehat{FEB}=\widehat{FEO}=\widehat{FAD}=\widehat{FAO}=60$
Vedem de-asemenea ca unghiurile alaturate sunt suplementare(suma lor face 180 de grade) din moment ce: $\widehat{AFE}=120$
Acestea sunt dovezi suficiente ca AFEO este paralelogram

Din paralelogramul BCDO, reiese ca BO este paralel cu CD si sunt egale intre ele. In aceste conditii, stim ca $\vec{CD}=\vec{BO}$
Din paralelogramul AFEO, reiese ca OA este paralel cu EF si sunt egale intre ele. In aceste conditii, stim ca $\vec{EF}=\vec{OA}$

Atunci suma vectoriala devine:
$\vec{AB}+\vec{CD}+\vec{EF}=\vec{AB}+\vec{BO}+\vec{OA}=\vec{AO}+\vec{OA}=\vec{OA}-\vec{OA}=\vec{0}$