Question

Fie AD bisectoarea unghiului A al triunghiului ABC. Se prelungește latura AB cu un segment AE congruent cu latura AC( figura 13). Demonstrați ca dreptele AD și CE sunt paralele.

Answer 1

Răspuns:

Explicație pas cu pas: Notăm ∡BAD cu A₁, ∡DAB cu A₂, ∡CAD cu A₃, ∡DAC cu C₁, ∡ACE cu C₂, ∡ACE cu E.  În Δ ACE (isoscel), AC≡AE ⇒∡C₂≡∡E și ∡C₂+∡E+∡A₃=180° (1). Dar în jurul punctului A, măsura unghiului este 180°. Unghiurile din jurul punctului A sunt (cu notațiile de mai sus): ∡A₁+∡A₂+∡A₃=180° (2). Dar știm că ∡A₁≡∡A₂ (AD bisectoarea ∡A) și mai știm că ∡C₂≡∡E (Δ ACE isoscel ) astfel că putem scrie: din (1)⇒ 2*∡E + ∡A₃ = 180°(3) și din (2) ⇒ 2*A₂+∡A₃=180°(4). Scădem relațiile (3) și (4) termen cu termen și obținem: 2*∡E + ∡A₃ - 2*∡A₂ - ∡A₃=180° - 180°. Efectuând calculele obținem: 2*∡E - 2*∡A₂=0 sau ∡E=∡A₂. Dar ∡A₂=∡A₁ de unde ∡E≡∡A₁. Revenind la notațiile făcute: ∡E este ∡ACE iar ∡A₁ este ∡BAD. Observăm că avem două unghiuri care sunt formate de segmentele AD și CE cu dreapta BE, unghiuri care sunt congruente. Aceste unghiuri sunt alterne interne, segmentul de dreptă BE este secantă pentru dreptele paralele AD și CE.

Answer 2

AD este bisectoarea unghiului A al Δ ABC

$\Rightarrow \measuredangle BAD = \measuredangle CAD = \dfrac{1}{2} \cdot \measuredangle BAC$

$\Leftrightarrow \measuredangle BAC = 2 \cdot \measuredangle CAD \ \ \ \ \ (1)$

AC≡AE ⇒ΔCAE este isoscel ⇒ ∡ACE≡∡AEC

∡BAC este unghi exterior al ΔCAE

​Măsura oricărui unghi exterior unui triunghi este egală cu suma măsurilor unghiurilor interioare neadiacente.

$\Rightarrow \measuredangle BAC = \measuredangle ACE + \measuredangle AEC = 2 \cdot \measuredangle ACE \ \ \ \ \ (2)$

din (1) și (2):

$\Rightarrow \measuredangle CAD \equiv \measuredangle ACE$ ⇒ alterne interne

$\Rightarrow \bf AD \ || \ CE$

q.e.d.