Question

Fie  cubul ABCDA'B'C'D'. Lungimea diagonalei cubului este de 12√3cm.Aflati
a)lungimea laturi cubului
b)aria si volumul cubului
c)masura unghiului format de AD' cu cu planul (BDD')

Answer 1

Răspuns:

a)  l = 12 cm

b)  A = 864 cm²

    V = 1728 cm³

c) 30°

Explicație pas cu pas:

Într-un cub de latură l, diagonala unei fețe a cubului este l√2, iar diagonala cubului este l√3. Aceste formule se demonstrează foarte simplu cu teorema lui Pitagora, dar nu le vom demonstra aici.

a) diagonala cubului = l√3 = 12√3 cm  ⇒  l = 12 cm

b) aria totală a cubului = 6 · aria unei fețe

A = 6 · l² = 6 · 12² = 864 cm²

V = l³ = 12³ = 1728 cm³

c) Urmărește desenul atașat.

Unghiul format de o dreaptă cu un plan este unghiul format de dreaptă cu proiecția ei pe plan. Aflăm care este proiecția dreptei AD' pe planul (BDD').

notăm cu O intersecția diagonalelor bazei: AC ∩ BD = {O}

{O} ∈ BD ⇔  {O} ∈ (BDD')

ABCD pătrat ⇒ DO ⊥ AC (diagonalele sunt perpendiculare)

ABCDA'B'C'D' cub  ⇒  DD' ⊥ (ABC)  ⇒ DD' ⊥ DO

prin teorema celor 3 perpendiculare ⇒ D'O ⊥ AC

avem deci că:

AO ⊥ DB și AO ⊥ D'O  ⇒  AO ⊥ (BDD')

⇔ O este proiecția lui A pe planul (BDD')

⇒  ∡(AD', planul (BDD')) = ∡AD'O

Avem AD' ≡ CD' ≡ AC (diagonale pe fețele cubului)

⇒ ΔACD' este echilateral ⇒ ∡AD'C = 60°

D'O ⊥ AC ⇔ D'O înălțime și bisectoare ⇒ ∡AD'O = 30°