Question

Fie D piciorul inaltimii din A in triunghiul echilateral ABC .Perpendiculara din D pe AB intersecteaza paralela prin A la BC in E .Aratati ca 2•AE=3•AB

Answer 1

Răspuns:

2•AE=3•AB relatia este adevarata

Explicație pas cu pas:

AB ∩ ED = {F}

AD - inaltime in echilateral => AD este si bisectoare si mediana

=> ∡FAD = 30°

=> BD = DC

• In ΔAEF avem

∡AEF = 90° - ∡EAF

= 90° - (90° -30° )

= 90° - 60°

= 30°

Cnf T30° => AF = AE/2

• In ΔBFD avem

∡FDB = 90° - ∡B

= 90° - 60°

= 30°

Cnf T30° => BF = BD/2

             dar BD = BC/2 } => BF = BC/4

AB = AF + BF

⁴⁾AB = ²⁾AE/2 + BC/4

4AB = 2AE + BC

BC = AB =>

4AB = 2AE + AB

4AB - AB = 2AE

3AB = 2AE

q.e.d.

Answer 2

Fie AB=2t.

În ΔADB, avem sinB = AD/AB ⇒ sin60° = AD/2t ⇒√3/2 =AD/2t ⇒

⇒AD=t√3.

În ΔAED, avem tg(EDA) = AE/AD ⇒ tg60° = AE/t√3 ⇒√3 =AE/t√3 ⇒

⇒AE=3t ⇒ 2AE=6t =3·2t =3AB