Question

Fie dezvoltarea    n
                              ∑ [1+x]^p.
                              p=o
Sa se determine coeficientul lui$x^{10}$

Answer 1

Salut,

Suma din enunţ este a unei progresii geometrice cu primul termen b₁ =(1+x)⁰=1, cu raţia q = 1+x. În plus, puterea p ia valori de la 0 la n, deci avem n+1 termen.

Suma este deci:

$S=b_1\cdot\dfrac{q^{n+1}-1}{q-1}=1\cdot\dfrac{(1+x)^{n+1}-1}{1+x-1}=\dfrac{(1+x)^{n+1}-1}{x}.$

Termenul general al binomului (1+x)ⁿ⁺¹ este:

$T_{k+1}=C_{n+1}^k\cdot 1^{n+1-k}\cdot x^k=C_{n+1}^k x^k.$

Pentru a obţine puterea 10 a lui x, avem nevoie de termenul la puterea 10+1=11, pentru că suma S îl are pe x la numitor, deci k=11, deci avem nevoie de T₁₂:

$T_{12}=C_{n+1}^{11}x^{11},\;deci\;coeficientul\ c\breve{a}utat\;este:\ C_{n+1}^{11}.$

Green eyes.