Question

Fie E(x)=$(\frac{x-1}{x-2} - \frac{x-2}{x-1} )ori \frac{ x^{2} -3x+2}{2 x^{2} -3x}$ pentru orice x∈R \ {$0;1; \frac{3}{2} ;2$}
a) Aratati ca E(x)=$\frac{1}{x}$
b) Determinati numerele intregi x , pentru care , E(x) este intreg .

Answer 1

a)
$E(x) = (\frac{x-1}{x-2} - \frac{x-2}{x-1})\frac{x^{2}-3x+2}{2x^{2}-3x}$

Intai fractia din afara:
$\frac{x^{2}-3x+2}{2x^{2}-3x} = \frac{x^{2}-2x-x+2}{2x^{2}-3x} = \frac{x(x-2) - (x-2)}{x(2x-3)}$
$\frac{x(x-2) - (x-2)}{x(2x-3)} = \frac{(x-2)(x-1)}{x(2x-3)}$

Acum paranteza principala:
$\frac{x-1}{x-2} - \frac{x-2}{x-1} = \frac{(x-1)^{2}-(x-2)^{2}}{(x-1)(x-2)}$
$\frac{(x-1)^{2}-(x-2)^{2}}{(x-1)(x-2)} = \frac{(x^{2}-2x+1)-(x^{2}-4x+4)}{(x-1)(x-2)} = \frac{2x - 3}{(x-1)(x-2)}$

Rescriem:
$E(x) = \frac{2x - 3}{(x-1)(x-2)} \frac{(x-2)(x-1)}{x(2x-3)} = \frac{1}{x}$

b)
Ca 1/x sa fie un numar intreg, x trebuie sa apartina divizoriilor lui 1.
Divizorii lui 1 sunt : D1 = { -1; 1 }
Deci, solutiile sunt:
$x_1 = -1$ si $x_2 = 1$

Mult noroc
Mexic