Question

Fie E(x) =
${x}^{4} \times {x}^{3} + 2 {x}^{2} + x + 1$
Unde x aprtine R. Demonstrati ca:​

Answer 1

Răspuns:

a.E(x)=x⁴+x³+2x²+x+1=

(x⁴+x³+x²)+(x²+x+1)=

x²(x²+x+1)+(x²+x+1)=

(x²+x+1)(x²+1)=

(x²+1)(x²+x+1)

b.Trebuie calculat minimul lui E(x).Prima paranteza are minimul 1 pt x=0

Calculam minimul si la a 2-a paranteza , cu ajutorul functiei de grad 2

Explicație pas cu pas:

Answer 2

Răspuns:

Explicație pas cu pas:

a) E(x)=x⁴+x³+2x²+x+1=x⁴+x³+x²+x²+x+1=x²·(x²+x+1)+(x²+x+1)·1, ⇒

E(x)=(x²+1)·(x²+x+1)

b) x²+1≥1,  x²+x+1>0, deoarece a=1>0 si Δ=1²-4·1·1=1-4=-3<0.

Calculăm cea mai mică valoare a trinomului de gr. 2,  x²+x+1, ce se obține în vârful parabolei. yV=-Δ/(4·1)=3/4, pentru xV=-1/(2·1)=-1/2.

Deci x²+x+1≥3/4 pentru ∀x∈R.

Deoarece primul factor, x²+1≥1, ⇒ E(x)=(x²+1)·(x²+x+1)>3/4

p.s.  Pentru x=-1/2, E(x)=((-1/2)²+1)·(3/4)=(5/4)·(3/4)>3/4

Să aflăm cea mai mică valoare a factorului x²+x+1, în caz că nu ești clasa a 9-a :

x²+x+1=x²+2·x·(1/2)+(1/2)²-(1/2)²+1=(x+(1/2))² -1/4 +1=(x+(1/2))² +3/4.

Deci, x²+x+1≥3/4, deoarece cea mai mică valoare o ia pentru x=-1/2.