Question

Fie E(x) = x^4+x+1 unde x este un numar real
a) Verificati egalitatea E(x)=(x^2-1/2)^2+(x+1/2)^2+1/2, oricare ar fi nr. real "x".
b)Demnostrati ca nu exista un numar real "r" astfel incat E(r)=0
c) Aratati ca E(n) este numar impar, oricare ar fi nr. nat. "n".

Answer 1

a) $E(x)=x^{4}-x^{2}+x^{2}+x+1=x^{4}-x^{2}+x^{2}+x+\frac{1}{4}+\frac{1}{4}+\frac{1}{2}=x^{4}-2\frac{1}{2}x^{2}+(\frac{1}{2})^{2}+x^{2}+2\frac{1}{2}x+(\frac{1}{2})^{2}+\frac{1}{2}=(x^{2}-\frac{1}{2})^{2}+(x+\frac{1}{2})^{2}+\frac{1}{2}$
b) Stim ca pentru orice numar real r exista inegalitatea $r^{2}\geq 0$ Atunci si in expresia noastra minimul lui E este
$min(E(x))=0+0+\frac{1}{2}=\frac{1}{2}$ deci minimul este mai mare decat 0 deci nu are cum sa fie 0 vreodata
c) $E(n)=n^{4}+n+1=n(n^{3}+1)+1$ primul termen e intotdeauna par indiferent de n, atunci E(n) pe de-antregul e impar