Question

Fie ecuația $x^2+bx+c=0$, unde b,c ∈ R, având rădăcinile x1,x2. Notând $S_n= x^{n} _1+x^n_2$, unde n∈$N^*$, demonstrați egalitatea:
$S_{n+2}+bS_{n+1}+cS_n=0$ ∀ n∈$N^*$

Answer 1

$x_1$ și $x_2$ fiind rădăcini, ele verifică ecuația:
$x_1^2+bx_1+c=0$
$x_2^2+bx_2+c=0$
Înmulțim prima egalitate cu $x_1^n$ și a doua cu $x_2^n$
$x_1^{n+2}+bx_1^{n+1}+cx_1^n=0$
$x_2^{n+2}+bx_2^{n+1}+cx_2^n=0$
Adunând egalitățile se obține relația care trebuia demonstrată.