Question

Fie ecuatia x^2-(a-4)x-a^2-2a+4=0
a) Demonstrati ca pentru orice valoare a perimetrului a∈R, ecuatia are radacini reale.
b)aflati valoarea lui a astfel incat x1/x2 + x2/x1 =2

Answer 1

Explicație pas cu pas:

La pct b se folosesc relațiile lui Viete:

x1 + x2 = - b/a

x1 x2 = c/a

Vezi foto atașate.

Answer 2

a)

$\it x_1,\ x_2\in\mathbb{R}\ \Leftrightarrow\ \Delta\geq0\ \Leftrightarrow\ (a-4)^2-4(-a^2-2a+4)\geq0\ \Leftrightarrow\ \\ \\ \ \Leftrightarrow\ a^2-8a+16+4a^2+8a-16\geq0\ \Leftrightarrow\ 5a^2\geq0,\ adev\breve arat\ \forall a\in\mathbb{R}.$

$\it b)\ \ Se\ aplic\breve a\ inegalitatea\ mediilor:\\ \\ m_a\geq m_g\ \Leftrightarrow\ \dfrac{\dfrac{x_1}{x_2}+\dfrac{x_2}{x_1}}{2}\geq\sqrt{\dfrac{x_1}{x_2}\cdot\dfrac{x_2}{x_1}}\ =1 \Leftrightarrow \dfrac{x_1}{x_2}+\dfrac{x_2}{x_1}\geq2, \\ \\ \\ Egalitatea \ are\ loc\ pentru\ \dfrac{x_1}{x_2}=\dfrac{x_2}{x_1}\ \Leftrightarrow x_1=x_2\Leftrightarrow \Delta=0\Leftrightarrow 5a^2=0\Leftrightarrow a=0$