Question

Fie expresia E(x) = x² + 3x + 2 a) Rezolvati, in multimea |R, ecuatia E(x) = 0 b) Determinati valorile reale ale lui m pentru care ecuatia E(x) = m are solutii reale. c) Dati exemplu de x ∈ |R \ Q pentru care E(x) ∈ Q

Answer 1

Răspuns:

Explicație pas cu pas:

E(x)=x²+3x+2=x²+x+2x+2=x·(x+1)+2·(x+1)=(x+1)·(x+2).

a) E(x)=0 pentru x+1=0 sau x+2=0, ⇒ pentru x=-2;  x=-1.  S={-2; -1}

b) E(x)=x²+3x+2. E(x)=m, ⇒ x²+3x+2=m, ⇒x²+3x+2-m=0. Ecuația de gradul 2 are solutii reale pentru Δ≥0.  Δ=b²-4ac, unde a=1, b=3, c=2-m, deci

Δ=3²-4·1·(2-m)=9-8+4m=4m+1. Deci 4m+1≥0, ⇒4m≥-1, ⇒ m≥-1/4.

Deci, ecuația E(x)=m are soluții reale pentru m∈[-1/4; +∞)

c) pentru x=√2 - 3/2, sau x=√2-1,5 , obtinem E(x)∈Q

E(x)=x²+3x+2=(x+1)(x+2)

pentru x=√2-1,5, ⇒ E(√2-1,5)=(√2-1,5+1)(√2-1,5+2)=(√2-0,5)(√2+0,5)= (√2)²-(0,5)²=2-0,25=1,75.  Deci E(√2-1,5)∈Q.

Alte exemple ar fi x=√3-1,5,  √5-1,5, ...